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zz 三国杀中的概率计算及应用——从甄姬开始的讨论 [复制链接]

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李远 发表于 2010-2-20 18:40:39 |显示全部楼层
转自http://www.54traveler.com/forum/viewthread.php?tid=7385&page=1
望各位同学勤奋学习,再上一层楼。



摘要:
本文计算了三国杀中一些有趣的概率结果,包括:甄姬洛神的期望为1,与周瑜确定的1张相等,如果只比较洛神和英姿两个技能,前者是占优的。黄月英的期望值 并不像想象的那么高,仅为0.798。黄盖的初始平均手牌大约为15张,周泰可能性最大的死亡时间是第5次判定,计算平均值得,周泰的平均死亡时间是 5.43。

简介:
     今天概率论课上,老师讲到几何分布时一时找不到好的例子,站在讲台上发楞,而我却沉浸在了一段美好的回忆之中。那是灵山脚下的一个月黑风高的夜晚, 我作为甄姬独斗主公,就在阴谋已败,满血主公看着红血的我抚掌而笑的时候,我发动了洛神,于是牌局上出现了如下序列:黑的,黑的,黑的,黑的,黑的……主 公在一声高过一声的惊呼中含恨而终。带着对甄姬的景仰,我尝试着计算了一下甄姬洛神的期望,发现结果竟然与预想的不一样,于是我又对其他RP型英雄进行了 分析,然后就有了这篇水文。

1.甄姬与周瑜的比较

    甄姬 薄幸的美人
    洛神:回合开始阶段,可进行主动判定,若判定结果为黑色花色,视为判定成功,则将该判定牌收归手牌,并可以继续判定;若结果为红色花色,视为判定失败,技能终止.可以不断的判定直到不愿意继续或判定的结果变为红色为止.

   周瑜 大都督
    英姿:摸牌阶段摸三张牌

    公瑾的技能一目了然,多摸一张牌,而甄姬就要罗嗦的多,概括起来就是除了本来那两张以外,还可以一直摸直到摸到红的为止。我们见过一直被红牌憋死的甄姬,也见过黑牌如雨犹如神助的甄姬。为了搞清楚甄姬的技能到底有多大价值,我们来计算一下甄姬额外摸牌数量的期望。
    由概率论的知识可以知道,甄姬摸牌张数X是服从几何分布的离散随机变量,其中参数p为1/2。用a表示甄姬额外摸牌数量的期望,则有

                                      



    这个数列的求和很简单
                                    
                                      



   这说明甄姬洛神的期望为1,与周瑜确定的1张相等(之前我觉得甄姬的期望会小一些),单从期望值来看,两者没有什么区别。但是考虑到三国杀特有的性质,尤其是诸葛连弩等设备的存在性,牌多的时候威力增加得非常之快,玩家存在着一种风险追求的心理,于是有

    性质1. 一般情况下,手牌的效用函数u关于手牌张数x是单调递增的凸函数。

     用凸函数的性质我们不难证明,甄姬的技能造成的手牌效用大于周瑜的效用,也就是说,一般情况下,如果只比较洛神和英姿两个技能,前者是占优的。

2. 更加招恨的月英姐

    黄月英 归隐的侠女
    集智:当她使用一张锦囊牌后,立即从牌堆顶摸一张牌加入手牌。

    相信大家都有看着黄月英打单机看到睡着的经历,有了上面的结果,我们可以也尝试着计算一下黄月英的期望。由于锦囊里无中生有是非常引人注目的,我们将这个问题单独拿出来讨论。首先,为了简化计算,我们做如下假设:

    假设1. 摸牌的过程是无放回抽签模型。这就是说,任何时候,从牌堆上方摸到某一种牌*的可能性p*就是这种 牌的张数在总张数里占的比例。这不仅是对于自己摸牌的阶段来说,也忽略了别人手中有你要的牌的可能。在甄姬的讨论中,我们已经用到了这一假设。这一假设引 起的误差是很小的。事实上,计算所得的期望一般很小,在1 左右,所以摸到很多张同种牌的概率很小,与我们的假设符合。

    我们首先讨论无中生有对于一般玩家的影响。
    用p*表示某次摸牌摸到无中生有的概率,有p*=a*/s, a*是无中生有的张数,s是总张数,在某次无中生有摸到的两张牌中至少有一张无中生有的概率是1-(1-p*)×(1-p*),由于p*很小,尽似取为 2p*。实际情况a*=4,s=109,p*=0.037. 定义n次无中生有的牌中还有无中生有的情况为n+1阶无中生有,于是从上面的推理中我们得到:

    性质2. 高阶无中生有可以忽略。

    下面我们开始计算黄月英附加摸牌张数的期望a。在这里也要做一个假设,黄月英会将所有能用掉的锦囊用掉,同时忽略所有五谷丰登的影响(太崩溃了)。首先计 算使用一张锦囊后集智带来的额外张数b。用p表示黄月英下一张摸到非延时锦囊的概率(不包括无中生有)。根据类似几何分布的性质,我们可以得到关系:
                               b=1+p×b+p*×(3+3b)
    解出b得:
                               b=(1+3p*)/(1-p-3p*)
    游戏中,p=18/109=0.165. 按计算器得b=1.53. 由此我们可以开始计算a.(这是一个综合考虑一般锦囊和无中生有的浩大工程...)

           a=p×p×2b+2p×b+p*×p*×2(2+b)+2p*×(2+b)-2p×p*(2+2b)
            =0.798

    计算结果令人惊讶,黄月英的期望值并不像想象的那么高,仅为0.798!相比之下,还不如周瑜和貂蝉的确定1张,甄姬的平均1张。关于这个问题,我们可以通过性质1给出解释。从b>1可以发现,黄月英一旦摸到一张锦囊,潜力是很足的,而且黄月英在第一轮六张手牌时是极其恐怖的。黄月英用较低的平均值换取了更高的风险,也就是爆发力

3. 公瑾,请鞭策我!

   在三国杀游戏中,总有一些恶趣味的人对于某暴力英雄有特别的喜爱。

   黄盖 轻身为国
   苦肉:出牌阶段,可主动减一点体力,从牌堆两张牌。在自己回合可以多次使用该技能。

   有了之前的分析,有关黄盖的计算就简单多了。先做如下假设:
  假设2. (暴力黄盖假设)所考虑的黄盖会在任何有可能时将自己变成一滴血的状态。
   于是有推论
   推论1. 暴力黄盖的所有桃和桃园结义等价于无中生有。

    此时摸到“无中生有”的概率p*=13/109=0.119. 忽略黄盖同时摸到三张“无中生有”的可能,忽略高阶“无中生有”,则暴力黄盖在第一回合未受打击的条件下可以获得的手牌平均数近似为:

       a=4+2+(4-1)×2+12p*×(1-p*)^11×2+(12选2)p*^2×(1-p*)^10×4
         =12+1.766

     计算过程中发现,由于手中初始张数很多,p*也不是很小,高阶“无中生有”产生的影响并不能忽略,所以a只是黄盖手牌的一个下界,综合各方面因素给出估算,黄盖的初始平均手牌大约为15张!试想一下,这样的一个人坐在主公的下家高喊“苍天已死,黄天当立”,对于主公是多大的威胁。(以后大家不要再鄙视暴力黄盖了...)

4. 信春哥者得永生

     啥都不说了。

     周泰 历战之躯
     不屈:任何时候,当你的体力被扣减到0或者更低时,每扣减一点体力:从牌堆上方亮出一张牌放在你的角色牌上,若该牌的点数与你角色牌上已有的任何一张牌都不同,你就不会死去,此时机视同濒死状态。

     史上最恶心的小强,我曾作为黄盖手持连弩近十张杀奔向主公,被下家忠臣周泰半路截住,硬抗所有杀而屹立不倒,最后被其一刀砍翻。从此,周泰到底能活多久成了江湖上永远的谜...谜...
     与前两个问题相比,有关周泰的计算倒不复杂,也不涉及什么引理,只要用到概率论的基本知识就可以了。用s表示总牌数(此处取s=52×2=104),从濒死开始,An表示在第n次判定后仍然屹立不倒这一事件,Dn表示周泰死于第n次判定这一事件。我们有:

                                          



      由An与Dn的关系得:

  


      带入数据计算得到数值列表:

  


以及图像:

  


     结论:周泰并不是那么硬嘛。周泰可能性最大的死亡时间是第5次判定,计算平均值得,周泰的平均死亡时间是5.43(以前相信的一种说法是7次)。终于知道周泰能活多久了。



讨论:
     本文给出了有关RP型英雄的几个有启发意义的概率结果,其中甄姬和周泰的计算基本是精确的,而有关无中生有的讨论都是近似的,都没有考虑五谷丰登的影响,对于黄盖的计算还有很大的不确定程度。希望有牛人能够给出黄盖的更加合理的计算结果。



参考文献:
[1] 概率论引论 ,汪仁官,北京大学出版社,1994年4月第1版
[2] 三国杀推广版说明书,YOKA GAMES

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ming8431 发表于 2010-2-21 01:28:37 |显示全部楼层

还有曲线图,还有参考文献,果然专业
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gujiyan 发表于 2010-2-21 17:54:51 |显示全部楼层
好贴!

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little_rr_nr 发表于 2012-8-23 14:14:22 |显示全部楼层
突然看到这篇2年多前的文章,楼主可否分析一下陆逊爆发、孙尚香爆发?事实上,在引入了军争篇扩展包之后,我认为甄姬的期望值已经大大降低~

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